Integrasi numerik antara metode simson dan trapezodial

dalam posting kali ini saya akan emncoba mejelaskan secara teoritis mengenai metode simson dan trapezodial, berdasarkan beberapa referensi, evaluasi nilai integral yang sudah sering kita pakai adalah metode kalkulus, metode ini disebut dengan metode exact, namun evaluasi dengan metode kalkulus tidak akan berhasil pada fungsi dengan bentuk yang kompleks, misalnya F(x) = 2x^sin 2x^3x, metode yang lebih sederhana (walau lebih komplek kalau dimengerti, tapi sederhana bagi komputer) adalah dengan metode numerik, dua metode yang dibahas dalam posting ini adalah metode simson dan trapezodial
Metode Simson
perbandingan pemrograman, alogaritma dan contohnya dapat dilihat di
http://bloghasnan.blogspot.com/2012/03/perbandingan-hasil-integrasi-numerik.html
secara sederhana, metode ini dapat dilihat pada gambar dibawah, untuk fungsi sinx,

 

 metode simpson dapat ditulis dengan

 yang artinya fungsi f ditabulasikan pada point x0, x1 dan x2 dengan spasi jarak yang sama, jarak ini disebut dengan h.
karena fungsi yang dipakai adalah pendekatan mengunakan quadratic polynomial, aturan simson akan menghasilkan nilai exact ketika pendekatan integralnya sampai derajat kubik.


 sebagai contoh pada fungsi sin x (kurva warna hitam) diatas pada interval [0, phi/2]  sehingga f(x=0) = 0, bila dihitung dengan simson rule


Metode Trapezodial
 metode ini menggunakan konsep menghitung luasan dengan cara menghitung luasan antara x1, dan x2 terhadap fungsi fx, dari gambar dibawah berikut dapat kita lihat semakin kecil h, maka nilai yang didapatkan akan semakin mendekati exact

sebagai perbandingan dengan metode simson, gambar dibawah ini adalah simulasi hasil perhitungan untuk sin x menggunakan metode trapezodial
 
dapat kita lihat pada gambar diatas, untuk fungsi yang sama, nilai dari simson lebih mendekati exact jika dibandingkan dengan trapezodial, tapi menurut saya selama h nya sekecil mungkin, maka nilai dari trapezodial pun akan semakin mendekati exact.

Read More

Perbandingan Hasil Integrasi Numerik menggunakan Simson dan Trapezodial

Secara teoritis memang metode simson akan menghasilkan hasil yang lebih akurat dibandingkan dengan Trapezodial, langkah termudah membuktikannya adalah dengan membuat program untuk keduanya lalu membandingkannya. sesuai dengan buku [1] hal 148, contoh 8.3 dari table yang ada, saya membuat program untuk menghitung secara dua metode diatas, form yang saya buat adalah seperti gambar berikut ini

 

Metode Simson

untuk simson, parameter yang dimasukkan dalam perhitungan adalah nilai x terendah atau x1, nilai h, dan jumlah data (n). nilai integral metode simson dihitung dengan 

  

 

Alogaritma

alogaritma yang digunakan adalah

1. baca n,x1,h

2. for i = 1 to n+1

3. baris n = x1

4. x1 = x1 + h '(menuliskan nilai x pada kolom)

6. next 1

7. Hitung S = h/3 * (f1+4*f2+2*f3+4*f4+2*f5+4*f6+...+fn+1)

8. tulis S

9. stop

Pembuatan Program
buka excel baru, pastikan toolbar developer sudah terpasang, klik design mode, lalu masukkan command button 2 buah, 1 buah untuk simson, 1 buah untuk trapezodial
nilai f(x) karena sudah ditentukan tulis mulai dari B2 sampai B11, sedangkan nilai x karena mempunyai nilai yang berurutan dengan interval tertentu dapat ditulis dengan program.
double klik command button 1, lalu tulis programnya sebagai berikut

Private Sub CommandButton1_Click()
Dim n, S, jum As Double
Dim h, xi As Single

n = Cells(2, 5)
x1 = Cells(3, 5)
h = Cells(4, 5)
For i = 1 To n + 1
    Cells(i + 1, 1) = x1
    x1 = x1 + h
Next i
     S = (h / 3) * (Cells(2, 2) + 4 * Cells(3, 2) + 2 * Cells(4, 2) + 4 * Cells(5, 2) + 2 * Cells(6, 2) + 4 * Cells(7, 2) + 2 * Cells(8, 2) + 4 * Cells(9, 2) + 2 * Cells(10, 2) + 4 * Cells(11, 2))
    Cells(6, 5) = S
   
End Sub

 Metode Trapezodial
 untuk metode trapezodial, hanya nilai n dan h yang perlu dimasukkan, jumlah n dan h saja, untuk mempermudah perbandingan, nilai n dan h yang dimasukkan bernilai sama dengan simson, begitu juga dengan data yang akan dibaca, karena itu tidak perlu menuliskan f(x) dan x lagi.
nilai integral trapezodial dihitung dengan

 

Alogaritma

secara alogaritma metode trapezodial lebih sederhana, untuk kasus ini, saya menggabungkan nilai f2 hingga fn-1 untuk mempermudah perhitungan

1. baca n,h

2. For i = 1 To n - 1
3.  a = a + baris kedua hingga baris n-1
4. Next i
5. Hitung   S = h * ((Cells(2, 2) / 2) + a + (Cells(n + 2, 2) / 2))
6. Tulis S

7. Stop

Pembuatan Program

masih pada spreadsheet yang sama dengan simson, double klik command button 2, lalu tulis program seperti berikut

Private Sub CommandButton2_Click()
Dim h, n, S, a As Single
n = Cells(2, 8)
h = Cells(3, 8)
For i = 1 To n - 1
   a = a + Cells(2 + i, 2)
Next i
    Cells(7, 7) = a '
    S = h * ((Cells(2, 2) / 2) + a + (Cells(n + 2, 2) / 2))
    Cells(6, 8) = S
End Sub

hasilnya dapat dilihat pada gambar dibawah berikut

 

dapat dilihat nilainya berbeda,  dibuku nilai akhirnya adalah 3,1 untuk simson, perbedaan dengan di buku karena di buku 2 nilai f(x) awal dihitung dengan trapezodial terlebih dahulu. sedangkan nilai perhitungan trapezodial sudah sama persis dibuku yaitu 3.1

filenya silahkan di download pada embed object berikut, semoga bermanfaat

Read More